Fraktallar nima: matematikaning go'zalligi va cheksizlik

2024 Muallif: Seth Attwood | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-16 16:19

Fraktallar bir asrdan beri ma'lum bo'lgan, yaxshi o'rganilgan va hayotda ko'plab qo'llanilishiga ega. Biroq, bu hodisa juda oddiy g'oyaga asoslanadi: go'zalligi va xilma-xilligi bilan cheksiz ko'plab shakllarni nisbatan oddiy tuzilmalardan faqat ikkita operatsiya - nusxa ko'chirish va masshtablash orqali olish mumkin.

Bizning qo'limizdagi daraxt, dengiz qirg'og'i, bulut yoki qon tomirlarida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, bu ob'ektlarning barchasida umumiy narsa yo'qdek tuyulishi mumkin. Biroq, aslida, barcha sanab o'tilgan ob'ektlarga xos bo'lgan strukturaning bitta xususiyati bor: ular o'ziga o'xshashdir. Daraxtning shoxidan, shuningdek, daraxt tanasidan kichikroq shoxlar bor, ulardan - hatto kichikroqlari va boshqalar, ya'ni shox butun daraxtga o'xshaydi.

Qon aylanish tizimi shunga o'xshash tarzda joylashgan: arteriolalar arteriyalardan chiqib ketadi va ulardan - kislorod organlar va to'qimalarga kiradigan eng kichik kapillyarlar. Keling, dengiz qirg'og'ining sun'iy yo'ldosh tasvirlarini ko'rib chiqaylik: biz koylar va yarim orollarni ko'ramiz; Keling, buni ko'rib chiqaylik, lekin qushning nazari bilan: biz ko'rfaz va burni ko'ramiz; Keling, biz plyajda turib, oyoqlarimizga qaraymiz, deb tasavvur qilaylik: har doim suvga qolganlardan ko'ra ko'proq chiqadigan toshlar bor.

Ya'ni, qirg'oq chizig'i kattalashtirilganda o'ziga o'xshash bo'lib qoladi. Amerikalik (Frantsiyada o'sgan bo'lsa ham) matematik Benua Mandelbrot ob'ektlarning bu xususiyatini fraktallik deb atagan va bunday ob'ektlarning o'zi - fraktallar (lotincha fractusdan - singan).

Fraktal nima?

Ushbu kontseptsiyaning qat'iy ta'rifi yo'q. Shuning uchun "fraktal" so'zi matematik atama emas. Odatda, fraktal quyidagi xususiyatlardan birini yoki bir nechtasini qanoatlantiradigan geometrik figuradir: • U har qanday kattalashtirishda murakkab tuzilishga ega (masalan, to‘g‘ri chiziqdan farqli o‘laroq, uning istalgan qismi eng oddiy geometrik figura - a. chiziq segmenti). • (taxminan) o'ziga o'xshash. • Topologik o'lchamdan katta bo'lgan kasrli Hausdorff (fraktal) o'lchamiga ega. • Rekursiv protseduralar bilan tuzilishi mumkin.

Geometriya va algebra

19-20-asrlar oxirida fraktallarni o'rganish tizimli emas, balki epizodik edi, chunki oldingi matematiklar asosan umumiy usullar va nazariyalar yordamida tadqiqot qilish mumkin bo'lgan "yaxshi" ob'ektlarni o'rganishgan. 1872-yilda nemis matematigi Karl Veyershtras hech qayerda differensiallanmaydigan uzluksiz funksiyaga misol tuzdi. Biroq, uning qurilishi butunlay mavhum va idrok etish qiyin edi.

Shu sababli, 1904 yilda shved Helge fon Koch hech qanday joyda tangensi bo'lmagan doimiy egri chiziqni ixtiro qildi va uni chizish juda oddiy. Ma'lum bo'lishicha, u fraktalning xususiyatlariga ega. Ushbu egri chiziqning variantlaridan biri "Koch qor parchasi" deb ataladi.

Shakllarning o'ziga o'xshashligi g'oyalarini Benoit Mandelbrotning bo'lajak ustozi fransuz Pol Per Levi olgan. 1938 yilda u yana bir fraktal - Levy C egri chizig'ini tavsiflovchi "Teklik va fazoviy egri va sirtlar, butunga o'xshash qismlardan iborat" maqolasini nashr etdi. Yuqoridagi barcha fraktallarni shartli ravishda konstruktiv (geometrik) fraktallarning bir sinfiga kiritish mumkin.

Yana bir sinf dinamik (algebraik) fraktallar bo'lib, ular Mandelbrot to'plamini o'z ichiga oladi. Ushbu yo'nalishdagi birinchi tadqiqotlar 20-asrning boshlarida boshlangan va frantsuz matematiklari Gaston Julia va Per Fatou nomlari bilan bog'liq.1918 yilda Yuliyaning murakkab ratsional funktsiyalarning takrorlanishiga bag'ishlangan deyarli ikki yuz sahifalik xotirasi nashr etildi, unda Yuliya to'plamlari - Mandelbrot to'plami bilan chambarchas bog'liq bo'lgan fraktallarning butun oilasi tasvirlangan. Ushbu ish Frantsiya akademiyasining mukofotiga sazovor bo'lgan, ammo unda bitta rasm yo'q edi, shuning uchun kashf etilgan ob'ektlarning go'zalligini qadrlash mumkin emas edi.

Bu ish Yuliyani o'sha davr matematiklari orasida ulug'laganiga qaramay, u tezda unutildi. Yarim asr o'tgachgina kompyuterlar yana e'tiborga tushdi: aynan ular fraktallar olamining boyligi va go'zalligini ko'rsatgan.

Fraktal o'lchamlar

Ma'lumki, geometrik figuraning o'lchami (o'lchovlar soni) bu raqam ustida yotgan nuqtaning o'rnini aniqlash uchun zarur bo'lgan koordinatalar sonidir.

Masalan, nuqtaning egri chiziqdagi o‘rni bitta koordinata, sirtda (tekislik shart emas) ikkita koordinata, uch o‘lchamli fazoda uchta koordinata bilan aniqlanadi.

Umumiy matematik nuqtai nazardan, siz o'lchamni shu tarzda belgilashingiz mumkin: chiziqli o'lchamlarning, aytaylik, ikki marta, bir o'lchovli (topologik nuqtai nazardan) ob'ektlar (segment) uchun kattalashishi o'lchamning oshishiga olib keladi. (uzunligi) ikki marta, ikki o'lchovli (kvadrat) uchun chiziqli o'lchamlarning bir xil o'sishi o'lchamning (maydonning) 4 barobar, uch o'lchamli (kub) uchun - 8 barobar oshishiga olib keladi. Ya'ni, "haqiqiy" (Hausdorff deb ataladigan) o'lchamni ob'ektning "o'lchami" ning o'sishi logarifmini uning chiziqli o'lchamining ortishi logarifmiga nisbati sifatida hisoblash mumkin. Ya'ni, segment uchun D = log (2) / log (2) = 1, tekislik uchun D = log (4) / log (2) = 2, hajm uchun D = log (8) / log (2)) = 3.

Keling, Koch egri chizig'ining o'lchamini hisoblaylik, uni qurish uchun birlik segmenti uchta teng qismga bo'linadi va o'rta interval bu segmentsiz teng qirrali uchburchak bilan almashtiriladi. Minimal segmentning chiziqli o'lchamlarining uch barobar ortishi bilan Koch egri chizig'ining uzunligi log (4) / log (3) ~ 1, 26 ga oshadi. Ya'ni, Koch egri chizig'ining o'lchami fraksiyoneldir!

Fan va san'at

1982 yilda Mandelbrotning "Tabiatning fraktal geometriyasi" kitobi nashr etildi, unda muallif fraktallar haqida o'sha paytda mavjud bo'lgan deyarli barcha ma'lumotlarni to'plagan va tizimlashtirgan va uni oson va tushunarli tarzda taqdim etgan. Mandelbrot o'z taqdimotida asosiy e'tiborni og'ir formulalar va matematik konstruktsiyalarga emas, balki o'quvchilarning geometrik intuitsiyasiga qaratdi. Muallif monografiyaning ilmiy qismini mohirlik bilan suyultirgan kompyuterda yaratilgan rasmlar va tarixiy ertaklar tufayli kitob bestsellerga aylandi va fraktallar keng jamoatchilikka ma'lum bo'ldi.

Matematik bo'lmaganlar orasida ularning muvaffaqiyati ko'p jihatdan o'rta maktab o'quvchisi tushunadigan juda oddiy konstruktsiyalar va formulalar yordamida hayratlanarli murakkablik va go'zallik tasvirlari olinganligi bilan bog'liq. Shaxsiy kompyuterlar etarlicha kuchli bo'lganda, hatto san'atning butun yo'nalishi - fraktal rasm paydo bo'ldi va deyarli har qanday kompyuter egasi buni qila olardi. Endi Internetda siz ushbu mavzuga bag'ishlangan ko'plab saytlarni osongina topishingiz mumkin.

Urush va tinchlik

Yuqorida ta'kidlanganidek, fraktal xususiyatga ega bo'lgan tabiiy ob'ektlardan biri qirg'oq chizig'idir. Bir qiziqarli voqea u bilan bog'liq, aniqrog'i, Mandelbrotning ilmiy maqolasiga asos bo'lgan uning uzunligini o'lchashga urinish bilan bog'liq va uning "Tabiatning fraktal geometriyasi" kitobida ham tasvirlangan.

Bu juda iste'dodli va g'ayrioddiy matematik, fizik va meteorolog Lyuis Richardson tomonidan o'tkazilgan tajriba. Uning tadqiqot yo'nalishlaridan biri ikki davlat o'rtasidagi qurolli to'qnashuv sabablari va ehtimolining matematik tavsifini topishga urinish edi. U hisobga olgan parametrlar orasida ikki urushayotgan davlatning umumiy chegarasining uzunligi ham bor edi. U raqamli tajribalar uchun ma'lumot to'plaganida, u turli manbalarda Ispaniya va Portugaliya o'rtasidagi umumiy chegara haqidagi ma'lumotlar juda boshqacha ekanligini aniqladi.

Bu uni quyidagilarni kashf etishga undadi: mamlakat chegaralarining uzunligi biz ularni o'lchagan hukmdorga bog'liq. Masshtab qanchalik kichik bo'lsa, chegara shunchalik uzun bo'ladi. Buning sababi shundaki, yuqori kattalashtirish bilan o'lchovlarning qo'polligi tufayli ilgari e'tibordan chetda qolgan qirg'oq burmalarini hisobga olish mumkin bo'ladi. Va agar masshtabning har bir o'sishi bilan chiziqlarning ilgari hisobga olinmagan egilishlari ochilsa, chegaralarning uzunligi cheksiz ekanligi ayon bo'ladi! To'g'ri, aslida bu sodir bo'lmaydi - o'lchovlarimizning aniqligi cheklangan chegaraga ega. Ushbu paradoks Richardson effekti deb ataladi.

Konstruktiv (geometrik) fraktallar

Umumiy holatda konstruktiv fraktalni qurish algoritmi quyidagicha. Avvalo, bizga ikkita mos geometrik shakl kerak, keling, ularni asos va parcha deb ataymiz. Birinchi bosqichda kelajakdagi fraktalning asosi tasvirlangan. Keyin uning ba'zi qismlari mos shkalada olingan parcha bilan almashtiriladi - bu qurilishning birinchi iteratsiyasi. Keyin, hosil bo'lgan figura yana ba'zi qismlarni bo'lakka o'xshash figuraga o'zgartiradi va hokazo. Agar bu jarayonni cheksiz davom ettirsak, u holda chegarada fraktal olamiz.

Keling, misol sifatida Koch egri chizig'idan foydalanib, ushbu jarayonni ko'rib chiqaylik. Koch egri chizig'i uchun asos sifatida siz har qanday egri chiziqni olishingiz mumkin ("Koch qor parchasi" uchun bu uchburchak). Ammo biz eng oddiy holat - segment bilan cheklanamiz. Fragment - bu rasmning yuqori qismida ko'rsatilgan siniq chiziq. Algoritmning birinchi iteratsiyasidan so'ng, bu holda, boshlang'ich segment fragmentga to'g'ri keladi, keyin uni tashkil etuvchi segmentlarning har biri fragmentga o'xshash siniq chiziq bilan almashtiriladi va hokazo. Rasmda birinchi to'rtta qadam ko'rsatilgan. bu jarayon.

Matematika tilida: dinamik (algebraik) fraktallar

Ushbu turdagi fraktallar chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlarni o'rganishda paydo bo'ladi (shuning uchun nom). Bunday tizimning xatti-harakati murakkab chiziqli bo'lmagan funktsiya (polinom) f (z) bilan tavsiflanishi mumkin. Murakkab tekislikda z0 boshlang'ich nuqtasini oling (yon panelga qarang). Endi murakkab tekislikdagi shunday cheksiz sonlar ketma-ketligini ko'rib chiqing, ularning har biri avvalgisidan olingan: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).).

z0 boshlang'ich nuqtasiga qarab, bunday ketma-ketlik o'zini boshqacha tutishi mumkin: n -> ∞ kabi cheksizlikka moyil; ba'zi bir yakuniy nuqtaga yaqinlashish; tsiklik ravishda bir qator qat'iy qiymatlarni qabul qilish; yanada murakkab variantlar ham mumkin.

Kompleks sonlar

Kompleks son ikki qismdan - haqiqiy va xayoliy, ya'ni formal yig'indisi x + iydan tashkil topgan sondir (bu erda x va y haqiqiy sonlar). men deb atalmish. xayoliy birlik, ya'ni i ^ 2 = -1 tenglamani qanoatlantiradigan son. Asosiy matematik amallar murakkab sonlar ustida aniqlanadi - qo'shish, ko'paytirish, bo'lish, ayirish (faqat taqqoslash operatsiyasi aniqlanmagan). Murakkab raqamlarni ko'rsatish uchun ko'pincha geometrik tasvir ishlatiladi - tekislikda (u murakkab deb ataladi), haqiqiy qism abscissa ustiga, xayoliy qism esa ordinataga yotqiziladi, kompleks son esa Dekart bilan nuqtaga to'g'ri keladi. x va y koordinatalari.

Shunday qilib, murakkab tekislikning har qanday z nuqtasi f (z) funksiyaning takrorlanishi paytida o'ziga xos xatti-harakatlar xarakteriga ega bo'lib, butun tekislik qismlarga bo'linadi. Bunda bu qismlar chegarasida yotuvchi nuqtalar quyidagi xususiyatga ega: ixtiyoriy kichik siljish uchun ularning xulq-atvorining xarakteri keskin o`zgaradi (bunday nuqtalar bifurkatsiya nuqtalari deyiladi). Shunday qilib, ma'lum bo'lishicha, muayyan turdagi xatti-harakatlarga ega bo'lgan nuqtalar to'plami, shuningdek, bifurkatsiya nuqtalari to'plamlari ko'pincha fraktal xususiyatlarga ega. Bu f (z) funktsiyasi uchun Julia to'plamlari.

Ajdaholar oilasi

Baza va fragmentni o'zgartirib, siz ajoyib turli xil konstruktiv fraktallarni olishingiz mumkin.

Bundan tashqari, shunga o'xshash operatsiyalar uch o'lchovli fazoda amalga oshirilishi mumkin. Volumetrik fraktallarga Menger shimgichi, Sierpinski piramidasi va boshqalar misol bo'la oladi.

Ajdaho oilasi konstruktiv fraktallar deb ham ataladi. Ba'zan ular kashfiyotchilar nomi bilan "Magistral-Harterning ajdaholari" deb ataladi (ular shaklida ular Xitoy ajdaholariga o'xshaydi). Ushbu egri chiziqni chizishning bir necha usullari mavjud. Ulardan eng sodda va eng intuitivi: siz etarlicha uzun qog'oz tasmasini olishingiz kerak (qog'oz qanchalik nozik bo'lsa, shuncha yaxshi) va uni yarmiga katlayın. Keyin uni birinchi marta xuddi shu yo'nalishda yana ikki marta eging.

Bir necha marta takrorlangandan so'ng (odatda besh-oltita buklanishdan keyin chiziq juda qalin bo'lib qoladi, uni yaxshilab egish uchun) siz tasmani orqaga burishingiz kerak va burmalarda 90˚ burchak hosil qilishga harakat qiling. Keyin ajdahoning egri chizig'i profilda paydo bo'ladi. Albatta, bu fraktal ob'ektlarni tasvirlashga bo'lgan barcha urinishlarimiz kabi, faqat taxminiy bo'ladi. Kompyuter bu jarayonning yana ko'p bosqichlarini tasvirlash imkonini beradi va natijada juda chiroyli raqam paydo bo'ladi.

Mandelbrot to'plami biroz boshqacha tarzda qurilgan. fc (z) = z ^ 2 + c funktsiyasini ko'rib chiqaylik, bu erda c - kompleks son. Bu funksiyaning ketma-ketligini z0 = 0 bilan tuzamiz, c parametriga qarab, u cheksizgacha ajralishi yoki chegaralangan holda qolishi mumkin. Bundan tashqari, ushbu ketma-ketlik chegaralangan c ning barcha qiymatlari Mandelbrot to'plamini tashkil qiladi. Uni Mandelbrotning o'zi va boshqa matematiklar batafsil o'rganib chiqdilar, ular ushbu to'plamning ko'plab qiziqarli xususiyatlarini kashf etdilar.

Ko'rinib turibdiki, Julia va Mandelbrot to'plamlarining ta'riflari bir-biriga o'xshash. Aslida, bu ikki to'plam bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Ya'ni, Mandelbrot to'plami - bu Julia to'plami fc (z) ulangan c murakkab parametrining barcha qiymatlari (agar uni ikkita ajratilgan qismga bo'lish mumkin bo'lmasa, ba'zi qo'shimcha shartlar bilan to'plam ulangan deb ataladi).

Fraktallar va hayot

Hozirgi vaqtda fraktallar nazariyasi inson faoliyatining turli sohalarida keng qo'llaniladi. Tadqiqot uchun sof ilmiy ob'ekt va yuqorida aytib o'tilgan fraktal rasmga qo'shimcha ravishda, fraktallar grafik ma'lumotlarni siqish uchun axborot nazariyasida qo'llaniladi (bu erda fraktallarning o'ziga o'xshashlik xususiyati asosan ishlatiladi - axir, kichik bir parchani eslab qolish uchun. Qolgan qismlarni olishingiz mumkin bo'lgan chizma va o'zgarishlar, butun faylni saqlashdan ko'ra kamroq xotira talab qilinadi).

Fraktalni aniqlaydigan formulalarga tasodifiy buzilishlarni qo'shish orqali ba'zi bir real ob'ektlarni - relyef elementlarini, suv havzalari yuzasini, ba'zi o'simliklarni juda ishonchli tarzda etkazib beradigan stoxastik fraktallarni olish mumkin, ular fizika, geografiya va kompyuter grafikasida katta yutuqlarga erishish uchun muvaffaqiyatli qo'llaniladi. simulyatsiya qilingan ob'ektlarning real bilan o'xshashligi. Elektronikada fraktal shaklga ega bo'lgan antennalar ishlab chiqariladi. Kam joy egallab, ular juda yuqori sifatli signalni qabul qilishni ta'minlaydi.

Iqtisodchilar valyuta kursi egri chiziqlarini tasvirlash uchun fraktallardan foydalanadilar (bu xususiyat Mandelbrot tomonidan kashf etilgan). Bu ajoyib go'zal va xilma-xil fraktallar olamiga kichik ekskursiyani yakunlaydi.