Koinotimizning tekis, sharsimon yoki giperbolik shakli?

2024 Muallif: Seth Attwood | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-16 16:19

Bizningcha, koinot cheksizdir. Bugun biz Yer shar shakliga ega ekanligini bilamiz, lekin biz koinotning shakli haqida kamdan-kam o'ylaymiz. Geometriyada "tanish" cheksiz fazoga muqobil sifatida ko'plab uch o'lchamli shakllar mavjud. Mualliflar farqni eng qulay shaklda tushuntiradilar.

Tungi osmonga qarab, kosmos barcha yo'nalishlarda abadiy davom etayotganga o'xshaydi. Biz koinotni shunday tasavvur qilamiz - lekin bu haqiqat emas. Axir, hamma Yerni tekis, deb o‘ylagan paytlar bo‘lgan: yer yuzasining egriligi sezilmaydi, Yerning dumaloq ekanligi haqidagi tasavvur esa tushunarsiz bo‘lib tuyulardi.

Bugun biz Yer shar shaklida ekanligini bilamiz. Ammo biz koinotning shakli haqida kamdan-kam o'ylaymiz. Sfera tekis yerning o'rnini egallaganligi sababli, boshqa uch o'lchamli shakllar "tanish" cheksiz makonga alternativalarni taklif qiladi.

Koinotning shakli haqida ikkita savol berish mumkin - alohida, lekin o'zaro bog'liq. Ulardan biri geometriya haqida - burchaklar va maydonlarni sinchkovlik bilan hisoblash. Yana biri topologiya haqida: alohida qismlar qanday qilib bitta shaklga birlashadi.

Kosmologik ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, koinotning ko'rinadigan qismi silliq va bir hil. Kosmosning mahalliy tuzilishi har bir nuqtada va har bir yo'nalishda deyarli bir xil ko'rinadi. Bu belgilarga faqat uchta geometrik shakl mos keladi - tekis, sharsimon va giperbolik. Keling, bu shakllarni o'z navbatida ko'rib chiqaylik, ba'zi topologik mulohazalar va kosmologik ma'lumotlarga asoslangan xulosalar.

Yassi koinot

Aslida, bu maktab geometriyasi. Uchburchakning burchaklari 180 gradusgacha qo'shiladi va aylananing maydoni pr2 ga teng. Yassi uch o'lchamli shaklning eng oddiy misoli oddiy cheksiz fazodir, matematiklar uni Evklid deb atashadi, ammo boshqa tekis variantlar ham mavjud.

Bu shakllarni tasavvur qilish oson emas, lekin biz sezgiimizni uchta emas, balki ikki o'lchovda fikrlash orqali bog'lashimiz mumkin. Odatiy Evklid tekisligiga qo'shimcha ravishda biz tekislikning bir qismini kesib, uning qirralarini yopishtirish orqali boshqa tekis shakllarni yaratishimiz mumkin. Aytaylik, biz to'rtburchaklar qog'ozni kesib, uning qarama-qarshi qirralarini lenta bilan yopishtiramiz. Agar siz yuqori chetini pastki chetiga yopishtirsangiz, siz silindrni olasiz.

Bundan tashqari, o'ng chetini chapga yopishtirishingiz mumkin - keyin biz donut olamiz (matematiklar bu shaklni torus deb atashadi).

Ehtimol, siz e'tiroz bildirasiz: "Biror narsa juda tekis emas". Va siz haq bo'lasiz. Biz tekis torus haqida bir oz aldagan edik. Agar siz haqiqatan ham shu tarzda qog'ozdan torus yasamoqchi bo'lsangiz, qandaydir qiyinchiliklarga duch kelasiz. Tsilindrni yasash oson, lekin uning uchlarini yopishtirish ishlamaydi: qog'oz torusning ichki doirasi bo'ylab g'ijimlanadi, lekin tashqi doira uchun bu etarli bo'lmaydi. Shunday qilib, siz qandaydir elastik materialni olishingiz kerak. Ammo cho'zish uzunlik va burchaklarni va shuning uchun butun geometriyani o'zgartiradi.

Oddiy uch o'lchamli fazo ichidagi tekis materialdan geometriyani buzmasdan haqiqiy silliq jismoniy torusni qurish mumkin emas. Yassi torus ichida yashash qanday ekanligi haqida mavhum ravishda taxmin qilish qoladi.

Tasavvur qiling-a, siz ikki o'lchovli mavjudotsiz, uning koinoti tekis torus. Bu koinotning shakli tekis qog'ozga asoslanganligi sababli, biz barcha geometrik faktlar bir xil bo'lib qolishga odatlanganmiz - hech bo'lmaganda cheklangan miqyosda: uchburchakning burchaklari 180 gradusgacha qo'shiladi va hokazo. Ammo kesish va yopishtirish orqali global topologiyaning o'zgarishi bilan hayot keskin o'zgaradi.

Boshlash uchun, torusda aylana va boshlang'ich nuqtaga qaytadigan to'g'ri chiziqlar mavjud.

Buzilgan torusda ular egri ko'rinadi, lekin tekis torus aholisi uchun ular tekis ko'rinadi. Va yorug'lik to'g'ri chiziqda harakat qilgani uchun, agar siz to'g'ridan-to'g'ri biron bir tomonga qarasangiz, o'zingizni orqa tomondan ko'rasiz.

Go‘yo asl qog‘ozda yorug‘lik sizning ichingizdan o‘tib, chap chekkaga o‘tib, so‘ng video o‘yinidagi kabi yana o‘ng tomonda paydo bo‘lgandek.

Bu haqda o'ylashning yana bir usuli: siz (yoki yorug'lik nuri) to'rt chekkadan birini kesib o'tasiz va o'zingizni yangi xonada topasiz, lekin aslida u bir xil xona, faqat boshqa nuqtai nazardan. Bunday koinotni kezib yurib, siz asl xonaning cheksiz ko'p nusxalarini uchratasiz.

Bu shuni anglatadiki, siz qaerga qarasangiz ham cheksiz ko'p nusxalarni olasiz. Bu oyna effektining bir turi, faqat bu nusxalar aynan aks ettirilmaydi.

Torusda ularning har biri bir yoki boshqa pastadirga to'g'ri keladi, ular bo'ylab yorug'lik sizga qaytib keladi.

Xuddi shu tarzda, biz kub yoki boshqa qutining qarama-qarshi yuzlarini yopishtirish orqali tekis uch o'lchamli torusni olamiz. Biz bu makonni oddiy cheksiz makon ichida tasvirlay olmaymiz - u shunchaki sig'maydi - lekin biz uning ichidagi hayot haqida mavhum ravishda taxmin qilishimiz mumkin.

Agar ikki o'lchovli torusdagi hayot bir xil to'rtburchaklar xonalarning cheksiz ikki o'lchovli massiviga o'xshasa, uch o'lchovli torusdagi hayot bir xil kub xonalarning cheksiz uch o'lchovli qatoriga o'xshaydi. Siz ham o'zingizning cheksiz sonli nusxalaringizni ko'rasiz.

Uch o'lchovli torus cheklangan tekis dunyoning o'nta variantidan faqat bittasidir. Shuningdek, cheksiz tekis dunyolar mavjud - masalan, cheksiz silindrning uch o'lchovli analogi. Bu olamlarning har biri o‘zining “mulohaza”lari bilan “kulgi xonasi”ga ega bo‘ladi.

Bizning koinotimiz tekis shakllardan biri bo'lishi mumkinmi?

Kosmosga qaraganimizda, biz cheksiz sonli o'z nusxalarimizni ko'rmaymiz. Qanday bo'lmasin, tekis shakllarni yo'q qilish oson emas. Birinchidan, ularning barchasi Evklid fazosi bilan bir xil mahalliy geometriyaga ega, shuning uchun ularni mahalliy o'lchovlar bilan farqlash mumkin bo'lmaydi.

Aytaylik, siz hatto o'zingizning nusxangizni ham ko'rdingiz, bu uzoqdagi tasvir faqat sizning (yoki umuman galaktikangizning) uzoq o'tmishda qanday qarashingizni ko'rsatadi, chunki yorug'lik sizga etib kelguniga qadar uzoq yo'lni bosib o'tgan. Ehtimol, biz hatto o'z nusxalarimizni ham ko'ramiz - lekin tanib bo'lmas darajada o'zgardi. Bundan tashqari, turli xil nusxalar sizdan turli masofalarda joylashgan, shuning uchun ular bir xil emas. Bundan tashqari, shunchalik uzoqdaki, biz hali ham hech narsani ko'rmaymiz.

Ushbu qiyinchiliklarni engib o'tish uchun astronomlar odatda o'zlarining nusxalarini emas, balki eng uzoqda ko'rinadigan hodisa - kosmik mikroto'lqinli fon radiatsiyasidagi takroriy xususiyatlarni izlaydilar, bu Katta portlashning qoldiqlari. Amalda, bu issiq va sovuq nuqtalarning mos naqshlari bo'lgan juft doiralarni izlashni anglatadi - ular bir xil, faqat turli tomondan, deb taxmin qilinadi.

Astronomlar aynan shunday qidiruvni 2015 yilda Plank kosmik teleskopi tufayli amalga oshirgan. Ular yassi 3D torus yoki boshqa tekis 3D shakli - plastinka deb ataladigan - biz ko'rishni kutayotgan tasodifiy doiralar turlari haqida ma'lumotlarni jamladilar, ammo ular hech narsa topmadilar. Bu shuni anglatadiki, agar biz torusda yashasak, u shunchalik katta bo'lib ko'rinadiki, har qanday takrorlanuvchi parchalar kuzatilishi mumkin bo'lgan koinotdan tashqarida yotadi.

Sferik shakl

Biz ikki o'lchovli sharlar bilan juda tanishmiz - bu to'pning, apelsin yoki Yerning yuzasi. Ammo bizning koinotimiz uch o'lchamli shar bo'lsa-chi?

Uch o'lchamli sharni chizish qiyin, lekin uni oddiy analogiya bilan tasvirlash oson. Agar ikki o'lchovli shar oddiy uch o'lchamli fazodagi biron bir markaziy nuqtadan qat'iy masofada joylashgan barcha nuqtalarning yig'indisi bo'lsa, uch o'lchovli shar (yoki "trisfera") - bu ba'zi bir nuqtadan ma'lum masofada joylashgan barcha nuqtalarning yig'indisi. to'rt o'lchovli fazodagi markaziy nuqta.

Trisfera ichidagi hayot tekis kosmosdagi hayotdan juda farq qiladi. Buni tasavvur qilish uchun siz ikki o'lchovli sohada ikki o'lchovli mavjudot ekanligingizni tasavvur qiling. Ikki o'lchovli sfera butun koinotdir, shuning uchun siz sizni o'rab turgan uch o'lchamli makonni ko'ra olmaysiz va unga kira olmaysiz. Bu sharsimon olamda yorug'lik eng qisqa yo'l bo'ylab tarqaladi: katta doiralarda. Ammo bu doiralar sizga to'g'ridan-to'g'ri tuyuladi.

Endi tasavvur qiling-a, siz va sizning 2D do'stingiz Shimoliy qutbda osilgan va u sayrga chiqqan. Ko'chib o'tsangiz, dastlab u sizning ko'rish doirangizda asta-sekin kamayadi - oddiy dunyoda bo'lgani kabi, biz o'rgangandek tez bo'lmasa ham. Buning sababi shundaki, sizning vizual doirangiz o'sib borishi bilan do'stingiz uni kamroq va kamroq egallaydi.

Ammo sizning do'stingiz ekvatorni kesib o'tishi bilan g'alati bir narsa yuz beradi: u kattalasha boshlaydi, garchi u uzoqlashishda davom etsa ham. Buning sababi shundaki, ular sizning vizual doirangizda egallagan foiz ortib bormoqda.

Janubiy qutbdan uch metr uzoqlikda do'stingiz sizdan uch metr uzoqlikda turganga o'xshaydi.

Janubiy qutbga etib borgach, u butun ko'rinadigan ufqingizni to'liq to'ldiradi.

Va janubiy qutbda hech kim yo'q bo'lganda, sizning vizual ufqingiz yanada g'alati bo'ladi - bu sizsiz. Buning sababi shundaki, siz chiqaradigan yorug'lik qaytib kelguncha butun sferaga tarqaladi.

Bu 3D sohasidagi hayotga bevosita ta'sir qiladi. Trisferaning har bir nuqtasining qarama-qarshi tomoni bor va agar u erda biror narsa bo'lsa, biz uni butun osmonda ko'ramiz. Agar u erda hech narsa bo'lmasa, biz o'zimizni fonda ko'ramiz - go'yo bizning tashqi ko'rinishimiz sharga o'ralgan, keyin ichkariga burilgan va butun ufqga shishgandek.

Ammo trisfera sferik geometriya uchun asosiy model bo'lsa ham, u yagona mumkin bo'lgan makondan uzoqdir. Biz Evklid fazosining qismlarini kesish va yopishtirish orqali turli xil tekis modellarni qurganimizdek, trisferaning mos qismlarini yopishtirish orqali sharsimon modellarni qurishimiz mumkin. Ushbu yopishtirilgan shakllarning har biri, xuddi torus kabi, "kulgi xonasi" ta'siriga ega bo'ladi, faqat sharsimon shakldagi xonalar soni cheklangan bo'ladi.

Agar bizning koinotimiz sharsimon bo'lsa-chi?

Hatto eng narsistimiz ham o'zimizni tungi osmon o'rniga fon sifatida ko'rmaydi. Ammo, tekis torusda bo'lgani kabi, biz biror narsani ko'rmasligimiz uning mavjud emasligini anglatmaydi. Sferik olamning chegaralari ko'rinadigan dunyo chegaralaridan kattaroq bo'lishi mumkin va fon shunchaki ko'rinmaydi.

Ammo torusdan farqli o'laroq, sferik olam mahalliy o'lchovlar yordamida aniqlanishi mumkin. Sferik shakllar cheksiz Evklid fazosidan nafaqat global topologiyada, balki kichik geometriyada ham farqlanadi. Misol uchun, sferik geometriyadagi to'g'ri chiziqlar katta doiralar bo'lganligi sababli, u erdagi uchburchaklar Evklidnikiga qaraganda "to'liq" va ularning burchaklarining yig'indisi 180 darajadan oshadi.

Asosan, kosmik uchburchaklarni o'lchash koinot qanchalik egri ekanligini tekshirishning asosiy usuli hisoblanadi. Kosmik mikroto'lqinli fondagi har bir issiq yoki sovuq nuqta uchun uning diametri va uchburchakning uch tomonini tashkil etuvchi Yerdan masofasi ma'lum. Biz tungi osmondagi nuqta hosil qilgan burchakni o'lchashimiz mumkin - va bu uchburchakning burchaklaridan biri bo'ladi. Keyin tomonlarning uzunliklari va burchaklar yig'indisining kombinatsiyasi tekislik, sferik yoki giperbolik geometriyaga mos kelishini tekshirishimiz mumkin (bu erda uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 darajadan kam).

Ushbu hisob-kitoblarning aksariyati, boshqa egrilik o'lchovlari bilan bir qatorda, koinot butunlay tekis yoki unga juda yaqin deb taxmin qilinadi. Yaqinda bir tadqiqot guruhi Plank kosmik teleskopidan olingan 2018-yildagi ma'lumotlarning ba'zilari sferik koinot foydasiga ko'proq gapirishini taklif qildi, ammo boshqa tadqiqotchilar taqdim etilgan dalillar statistik xato bilan bog'liq bo'lishi mumkinligini ta'kidladilar.

Giperbolik geometriya

O'z-o'zidan yopiladigan shardan farqli o'laroq, giperbolik geometriya yoki manfiy egrilikka ega bo'shliq tashqi tomonga ochiladi. Bu keng qirrali shlyapa, mercan rifi va egarning geometriyasi. Giperbolik geometriyaning asosiy modeli, xuddi tekis Evklid kabi cheksiz fazodir. Ammo giperbolik shakl tekisdan ko'ra tezroq tashqariga kengayganligi sababli, agar biz uning geometriyasini buzmoqchi bo'lmasak, oddiy Evklid fazosiga ikki o'lchovli giperbolik tekislikni ham sig'dirishning iloji yo'q. Ammo Puankare diski deb nomlanuvchi giperbolik tekislikning buzilgan tasviri mavjud.

Bizning nuqtai nazarimizdan, chegara doirasi yaqinidagi uchburchaklar markazga yaqin joylashganidan ancha kichikroq ko'rinadi, ammo giperbolik geometriya nuqtai nazaridan, barcha uchburchaklar bir xil. Agar biz bu uchburchaklarni haqiqatan ham bir xil o'lchamda tasvirlashga harakat qilsak - ehtimol elastik materialdan foydalangan holda va har bir uchburchakni navbatma-navbat shishirib, markazdan tashqariga qarab harakat qilsak - bizning diskimiz keng qirrali shlyapaga o'xshab ketadi va borgan sari bukiladi. Chegaraga yaqinlashganda esa bu egrilik nazoratdan chiqib ketadi.

Oddiy Evklid geometriyasida aylana aylanasi uning radiusiga to‘g‘ridan-to‘g‘ri proportsional bo‘lsa, giperbolik geometriyada aylana radiusga nisbatan eksponensial o‘sadi. Giperbolik diskning chegarasi yaqinida uchburchaklar to'plami hosil bo'ladi

Bu xususiyat tufayli matematiklar giperbolik fazoda yo'qolib ketish osonligini aytishni yaxshi ko'radilar. Agar sizning do'stingiz oddiy Evklid bo'shlig'ida sizdan uzoqlashsa, u uzoqlasha boshlaydi, aksincha sekin, chunki sizning ko'rish doirangiz unchalik tez o'smaydi. Giperbolik bo'shliqda sizning ko'rish doirangiz eksponent ravishda kengayadi, shuning uchun do'stingiz tez orada cheksiz kichik dog'ga qisqaradi. Shunday qilib, agar siz uning yo'liga ergashmagan bo'lsangiz, uni keyinroq topa olmaysiz.

Hatto giperbolik geometriyada ham uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 darajadan kam - masalan, Puankare disk mozaikasidan ba'zi uchburchaklar burchaklarining yig'indisi atigi 165 daraja.

Ularning tomonlari bilvosita ko'rinadi, ammo bu biz giperbolik geometriyani buzuvchi ob'ektiv orqali ko'rib chiqayotganimiz uchundir. Puankare diskining aholisi uchun bu egri chiziqlar aslida to'g'ri chiziqlardir, shuning uchun A nuqtadan B nuqtaga (ikkalasi ham chekkada) o'tishning eng tez yo'li markazga kesishdir.

Puankare diskining uch o‘lchamli analogini yaratishning tabiiy usuli bor – uch o‘lchamli to‘pni oling va uni uch o‘lchamli shakllar bilan to‘ldiring, ular Puankare diskidagi uchburchaklar kabi chegaraviy sferaga yaqinlashganda asta-sekin kamayadi. Va tekisliklar va sharlar singari, biz uch o'lchamli giperbolik to'pning mos qismlarini kesib, uning yuzlarini yopishtirish orqali boshqa uch o'lchovli giperbolik bo'shliqlarni yaratishimiz mumkin.

Xo'sh, bizning koinotimiz giperbolikmi?

Giperbolik geometriya o'zining tor uchburchaklari va eksponensial ravishda o'sib borayotgan doiralari bilan bizning atrofimizdagi fazoga umuman o'xshamaydi. Haqiqatan ham, yuqorida aytib o'tganimizdek, kosmologik o'lchovlarning aksariyati tekis koinotga to'g'ri keladi.

Ammo biz sharsimon yoki giperbolik dunyoda yashayotganimizni istisno qila olmaymiz, chunki ikkala dunyoning kichik qismlari deyarli tekis ko'rinadi. Masalan, sferik geometriyadagi kichik uchburchaklar burchaklarining yig'indisi atigi 180 darajadan bir oz ko'proq, giperbolik geometriyada esa biroz kamroq.

Shuning uchun qadimgi odamlar Yerni tekis deb o'ylashgan - Yerning egri chizig'i oddiy ko'zga ko'rinmaydi. Sferik yoki giperbolik shakl qanchalik katta bo'lsa, uning har bir qismi shunchalik tekisroq bo'ladi, shuning uchun bizning koinotimiz juda katta sferik yoki giperbolik shaklga ega bo'lsa, uning ko'rinadigan qismi tekislikka shunchalik yaqinki, uning egriligini faqat o'ta aniq asboblar yordamida aniqlash mumkin. va biz ularni hali ixtiro qilganimiz yo'q …